FRATTALI

 

Frattale di Mandelbrot

Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.

I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria del caos e sono spesso descritti in modo ricorsivo da equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio dei numeri complessi. Ad esempio l'equazione che descrive l'insieme di Mandelbrot è la seguente:

dove a_n e P₀ sono numeri complessi.

Frattali e natura

Forma frattale di una montagna

La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.

Auto-similitudine e definizione ricorsiva [modifica]

Per frattale, invece, si intende un oggetto che si ripete nella sua forma, allo stesso modo, su scale diverse senza rendersi dissimile dall'originale, in base a un algoritmo. Un esempio matematico semplicissimo? La serie frattale: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…. Ogni numero intero è dato dalla somma dei due precedenti e questa regola (detta Serie di Fibonacci) è l’algoritmo.

La natura offre diversi esempi di tale struttura matematica. Quello più a portata di mano è … il broccolo: osservate le sue cimette, sono tutti piccoli broccoli che si riproducono sempre nello stesso modo, in misura sempre minore. Anche l’abete riproduce su ogni ramo, rametto e ramoscello sempre lo stesso schema, in dimensione frattale, tanto che ne basta solo una fronda per simulare un intero albero di Natale. E ancora, l’Aloe spiralata, la conchiglia del Nautilus, vari cristalli etc. 

La forma frattale di un Cavolfiore

A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.

Una sostanziale differenza tra un oggetto geometrico euclideo ed un frattale è il modo in cui si costruisce. Una curva piana, infatti, si costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando una funzione del tipo:

f(x(t),y(t)) = 0

che descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempo t.

La costruzione dei frattali, invece, non si basa su di un'equazione, ma su un algoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre, l'algoritmo non è mai applicato una volta sola: la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione), e dopo un certo numero di iterazioni l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche (oppure l'hardware del computer non è più in grado di consentire ulteriori miglioramenti): pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni.

Alla base dell’auto-similarità sta una particolare trasformazione geometrica chiamata omotetia che permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma. Un frattale è un ente geometrico che mantiene la stessa forma se ingrandito con una omotetia opportuna, detta omotetia interna.